HIPERBOLA

ENLACES DE INTERES

http://www.youtube.com/watch?v=GIyi-5NSQbM&feature=fvwrel
http://www.youtube.com/watch?v=H4qA7BJa3XM&feature=fvwrel
http://www.youtube.com/watch?v=ZrdbCg_cqW4&feature=related

EVALUACION

Ejercicios

Determine la ecuación canónica y los demás elementos de la hipérbola tal que para cualquier punto sobre ella la diferencia entre sus distancias a los puntos y es .
Determine la ecuación canónica y los demás elementos de la hipérbola con vértices en y y asíntotas en $y = 2/3x \; \wedge \; y = 4 - 2/3x$ .
Hallar el valor de de forma que la hipérbola

$\begin{displaymath}\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{4} = 1 \end{displaymath}$

sea tangente a la recta .
Determine el tipo de cónica representada por la ecuación

$\begin{displaymath}\frac{x^2}{k} + \frac{y^2}{k - 16} = 1\end{displaymath}$

en los casos

a.) Si
b.) Si

c.) Si

5. Determine la excentricidad de la cónica con ecuación:

$\begin{displaymath}3\,x^2 - y^2 + 12\,x + 9 = \end{displaymath}$

Excentricidad

La excentricidad mide la abertura mayor o menor de las ramas de la hipérbola.

Ecuación reducida de la hipérbola

Si el eje real está en el eje de abscisas las coordenadas de los focos son:

F'(-c,0) y F(c,0)

Ecuación de la hipérbola con los focos en el eje OY

Si el eje real está en el eje de abscisas las coordenadas de los focos son:

F'(0, -c) y F(0, c)

Ecuación de la hipérbola con eje paralelo a OX, y centro distinto al origen

Si el centro de la hipérbola es C(x₀, y₀) y el eje principal es paralelo a OX, los focos tienen de coordenadas F(X₀+c, y₀) y F'(X₀-c, y₀). Y la ecuación de la hipérbola será:

Al quitar denominadores y desarrollar las ecuaciones se obtiene, en general, una ecuación de la forma:

Donde A y B tienen signos opuestos.

Ecuación de la hipérbola con eje paralelo a OY, y centro distinto al origen

Si el centro de la hipérbola C(x₀, y₀) y el eje principal es paralelo a OY, los focos tienen de coordenadas F(X₀, y₀+c) y F'(X₀, y₀-c). Y la ecuación de la hipérbola será:

Al quitar denominadores y desarrollar las ecuaciones se obtiene, en general, una ecuación de la forma:

Donde A y B tienen signos opuestos.

Ecuación de la hipérbola equilátera

Las hipérbolas en las que los semiejes son iguales se llaman equiláteras, por tanto a = b. Y su ecuación es:

Las asíntotas tienen por ecuación:

Es decir, las bisectrices de los cuadrantes.

La excentricidad es:

Ecuación de la hipérbole equilátera referida a sus asíntotas

Para pasar de los ejes OX, OY a los determinados por las asíntotas, bastará dar un giro de -45° alrededor del origen de coordenadas. Quedando la ecuación como:

Si efectuamos un giro de 45° en los ejes, la hipérbola que queda en el segundo y cuarto cuadrante y su ecuación será:

ECUACION CANONICA

	Teorema (ecuación canónica de la hipérbola)
	La ecuación canónica de la hipérbola con centro en es $\begin{displaymath}\frac{{\left( x - h \right) }^2}{a^2} - \frac{{\left( y - k \right) }^2}{b^2} = 1\end{displaymath}$ con eje transversal horizontal. Y $\begin{displaymath}\frac{{\left( y - h \right) }^2}{a^2} - \frac{{\left( x - k \right) }^2}{b^2} = 1\end{displaymath}$ con eje transversal vertical.

Los vértices están a una distancia de a unidades del centro y los focos a una distancia de

unidades del centro. Además

Figura 2.

Resumiendo:

Si el eje transversal de la hipérbola es horizontal entonces

$\bullet \;$ El centro está en

$\bullet \;$ Los vértices están en $(h \pm a, k)$

$\bullet \;$ Los focos están en $(h \pm c, k)$ .

Si el eje transversal de la hipérbola es vertical entonces

$\bullet \;$ El centro está en

$\bullet \;$ Los vértices están en $(h,k \pm a)$ .

$\bullet \;$ Los focos están en $(h, k \pm c)$ .

Una ayuda importante para trazar la gráfica de una hipérbola son sus asíntotas. Toda hipérbola tiene dos asíntotas que se intersecan en su centro y pasan por los vértices de un rectángulo de dimensiones 2a y 2b y centro en

.El segmento recto de longitud 2b que une

se llama eje conjugado de la hipérbola. El siguiente teorema identifica la ecuación de las asíntotas.

	Teorema (Asíntotas de una hipérbola)
	Si la hipérbola tiene un eje transversal horizontal, las ecuaciones de las asíntotas son $\begin{displaymath}y = k\,\pm \,\frac{b}{a}\,\left( x - h \right)\end{displaymath}$ y si el eje transversal es vertical, las ecuaciones de las asíntotas son $\begin{displaymath}y = k\,\pm \,\frac{a}{b}\,\left( x - h \right)\end{displaymath}$

Observación : las asíntotas de la hipérbola coinciden con las diagonales del rectángulo de dimensiones

centro

.Esto sugiere una forma simple de trazar tales asíntotas.

	Definición (excentricidad de una hipérbola)
	La excentricidad de una hipérbola está dada por el cociente $\begin{displaymath}e = \frac{c}{a} \end{displaymath}$

Si la excentricidad es grande los focos están cerca del centro y las ramas de la hipérbola son casi rectas verticales. Si la excentricidad es cercana a uno los focos están lejos del centro y la ramas de la hipérbola son más puntiagudas.

La propiedad reflectora de la hipérbola afirma que un rayo de luz dirigido a uno de los focos de una hipérbola se refleja hacia el otro foco (figura 2).

	Teorema (propiedad de reflexión)
	La tangente en un punto P de una hipérbola es la bisectriz del ángulo formado por lo segmentos que unen este punto con los focos.

Figura 3.

Ejemplo 1

Hallar la ecuación canónica, los focos, los vértices, la excentricidad y las asíntotas de la hipérbola cuya ecuación es

$\begin{displaymath}9\,x^2 - y^2 - 36\,x - 6\,y + 18 = 0\end{displaymath}$

Solución

Completando el cuadrado en ambas variables

$\begin{displaymath} \begin{array}{rcl} 9\,\left( x^2 - 4\,x + 4 - 4 \right) - ... ... - \frac{{\left( y + 3 \right) }^2}{9} & = & 1 \\ \end{array}\end{displaymath}$

Por tanto, el centro está en

. El eje de la hipérbola es horizontal, $a = \ 1, b = 3$ y

$\begin{displaymath}c^2 = a^2 + b^2 \; \Rightarrow \; c^2 = 10 \; \Rightarrow\; c = {\sqrt{10}}\end{displaymath}$

Los vértices están en $(1, -3), \;(3, -3)$ , los focos en $(2 \pm \sqrt{10}, -3)$ y $(2, -3 - \sqrt{13}$ y la excentricidad es $e = \sqrt{10}$ . La gráfica se muestra en la figura 3.

Figura 4.

Ejemplo 2

Hallar la ecuación canónica de la hipérbola con vértices en

y asíntotas $y = 2x - 8\;$ y $\;y = -2x + 4$ . Además calcule los focos, la excentricidad y trace la gráfica.

Solución

Por ser el centro el punto medio de los vértices sus coordenadas son $(3, \ -2)$ . Además, la hipérbola tiene eje transversal vertical y

. Por otro lado, por el teorema de las asíntotas.

$\begin{displaymath}{m_1} = 2 = \frac{a}{b} \; \Rightarrow \; b = \frac{a}{2} \; \Rightarrow \; b = \frac{3}{2}\end{displaymath}$

Por tanto, la ecuación canónica es

$\begin{displaymath}\frac{{\left( y + 2 \right) }^2}{9} - \frac{{\left( x - 3 \right) }^2}{\frac{9}{4}} = 1\end{displaymath}$

El valor de

está dado por

$\begin{displaymath}c^2 = a^2 + b^2 \Rightarrow c^2 = \frac{45}{4} \Rightarrow c = \frac{3\,{\sqrt{5}}}{2}\end{displaymath}$

Los focos están en $( 3,-2 - \frac{3\,{\sqrt{5}}}{2})$ y $( 3,-2 + \frac{3\,{\sqrt{5}}}{2})$ y la excentricidad es $e = \frac{{\sqrt{5}}}{2}$ La gráfica se muestra en la figura 4.

Figura 5