domingo, 27 de mayo de 2012

ECUACION CANONICA

Teorema (ecuación canónica de la hipérbola)
La ecuación canónica de la hipérbola con centro en $(h, k)$ es


\begin{displaymath}\frac{{\left( x - h \right) }^2}{a^2} - \frac{{\left( y - k \right) }^2}{b^2} = 1\end{displaymath}


con eje transversal horizontal. Y


\begin{displaymath}\frac{{\left( y - h \right) }^2}{a^2} - \frac{{\left( x - k \right) }^2}{b^2} = 1\end{displaymath}


con eje transversal vertical.


Los vértices están a una distancia de a unidades del centro y los focos a una distancia de unidades del centro. Además $b^2 = c^2 - a^2$
Figura 2.
Resumiendo:

Si el eje transversal de la hipérbola es horizontal entonces

$\bullet \;$ El centro está en $(h, k)$

$\bullet \;$ Los vértices están en $(h \pm a, k)$

$\bullet \;$ Los focos están en $(h \pm c, k)$.

Si el eje transversal de la hipérbola es vertical entonces

$\bullet \;$ El centro está en $(h, k)$

$\bullet \;$ Los vértices están en $(h,k \pm a)$.

$\bullet \;$ Los focos están en $(h, k \pm c)$.

Una ayuda importante para trazar la gráfica de una hipérbola son sus asíntotas. Toda hipérbola tiene dos asíntotas que se intersecan en su centro y pasan por los vértices de un rectángulo de dimensiones 2a y 2b y centro en $(h, k)$.El segmento recto de longitud 2b que une $(h, k + b)y(h, se llama eje conjugado de la hipérbola. El siguiente teorema identifica la ecuación de las asíntotas.




Teorema (Asíntotas de una hipérbola)
Si la hipérbola tiene un eje transversal horizontal, las ecuaciones de las asíntotas son


\begin{displaymath}y = k\,\pm \,\frac{b}{a}\,\left( x - h \right)\end{displaymath}


y si el eje transversal es vertical, las ecuaciones de las asíntotas son



\begin{displaymath}y = k\,\pm \,\frac{a}{b}\,\left( x - h \right)\end{displaymath}
Observación : las asíntotas de la hipérbola coinciden con las diagonales del rectángulo de dimensiones $2a$ y $2b$ centro $(h, k)$.Esto sugiere una forma simple de trazar tales asíntotas.


Definición (excentricidad de una hipérbola)
La excentricidad $e$ de una hipérbola está dada por el cociente



\begin{displaymath}e = \frac{c}{a} \end{displaymath}
Si la excentricidad es grande los focos están cerca del centro y las ramas de la hipérbola son casi rectas verticales. Si la excentricidad es cercana a uno los focos están lejos del centro y la ramas de la hipérbola son más puntiagudas.

La propiedad reflectora de la hipérbola afirma que un rayo de luz dirigido a uno de los focos de una hipérbola se refleja hacia el otro foco (figura 2).


Teorema (propiedad de reflexión)
La tangente en un punto P de una hipérbola es la bisectriz del ángulo formado por lo segmentos que unen este punto con los focos.

Figura 3.
Ejemplo 1
Hallar la ecuación canónica, los focos, los vértices, la excentricidad y las asíntotas de la hipérbola cuya ecuación es


\begin{displaymath}9\,x^2 - y^2 - 36\,x - 6\,y + 18 = 0\end{displaymath}
Solución
Completando el cuadrado en ambas variables




\begin{displaymath} \begin{array}{rcl} 9\,\left( x^2 - 4\,x + 4 - 4 \right) - ... ... - \frac{{\left( y + 3 \right) }^2}{9} & = & 1 \\ \end{array}\end{displaymath}


Por tanto, el centro está en $(2, -3)$. El eje de la hipérbola es horizontal, $a = \ 1, b = 3$ y




\begin{displaymath}c^2 = a^2 + b^2 \; \Rightarrow \; c^2 = 10 \; \Rightarrow\; c = {\sqrt{10}}\end{displaymath}


Los vértices están en $(1, -3), \;(3, -3)$, los focos en $(2 \pm \sqrt{10}, -3)$ y $(2, -3 - \sqrt{13} $ y la excentricidad es $e = \sqrt{10}$. La gráfica se muestra en la figura 3.



Figura 4.
Ejemplo 2
Hallar la ecuación canónica de la hipérbola con vértices en $(3, -5)$ y $(3, 1)$ y asíntotas $y = 2x - 8\;$ y $\;y = -2x + 4$. Además calcule los focos, la excentricidad y trace la gráfica.
Solución
Por ser el centro el punto medio de los vértices sus coordenadas son $(3, \ -2)$. Además, la hipérbola tiene eje transversal vertical y $a =3$. Por otro lado, por el teorema de las asíntotas.




\begin{displaymath}{m_1} = 2 = \frac{a}{b} \; \Rightarrow \; b = \frac{a}{2} \; \Rightarrow \; b = \frac{3}{2}\end{displaymath}


Por tanto, la ecuación canónica es


\begin{displaymath}\frac{{\left( y + 2 \right) }^2}{9} - \frac{{\left( x - 3 \right) }^2}{\frac{9}{4}} = 1\end{displaymath}


El valor de $c $ está dado por



\begin{displaymath}c^2 = a^2 + b^2 \Rightarrow c^2 = \frac{45}{4} \Rightarrow c = \frac{3\,{\sqrt{5}}}{2}\end{displaymath}


Los focos están en $( 3,-2 - \frac{3\,{\sqrt{5}}}{2})$ y $( 3,-2 + \frac{3\,{\sqrt{5}}}{2})$ y la excentricidad es $e = \frac{{\sqrt{5}}}{2}$ La gráfica se muestra en la figura 4.


Figura 5
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